일차함수 평행이동 그래프로 한눈에

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일차함수 평행이동, 공식만 외우다 지쳤다고요? 왜 그렇게 움직이는지, 그래프는 어떻게 변하는지, 일상생활 예시와 함께 쉽고 명확하게 파헤쳐 드릴게요! 😊

수학 시간에 일차함수 평행이동을 배우면서 "x 대신 (x-a), y 대신 (y-b)를 대입하라는데, 왜 하필 빼는 거지? 🤯" 하고 고개를 갸우뚱했던 경험, 저만 있는 건 아닐 거예요. 공식은 외우겠는데 도대체 왜 그렇게 되는지 이해가 안 돼서 답답했던 기억이 나네요. 하지만 사실 일차함수의 평행이동은 우리가 매일 보는 스마트폰 앱 아이콘을 옮기거나, 엘리베이터가 움직이는 원리처럼 아주 직관적이고 재미있는 개념이랍니다! 오늘은 딱딱한 공식 암기 대신, 일차함수 평행이동이 어떻게 이루어지는지, 그래프는 어떻게 변하는지, 그리고 왜 그렇게 표현하는지 그 '속 시원한' 원리까지 자세히 파헤쳐 볼게요. 수학이 이렇게 재미있고 이해하기 쉬울 수 있다는 걸 알려드릴게요! 🚀

일차함수 평행이동 그래프로 한눈에

일차함수 평행이동, 핵심 개념부터 잡아요!

일차함수는 'y = ax + b' (단, a는 0이 아님) 형태로 표현되는 직선 그래프를 그리는 함수죠. 이 함수를 '평행이동'한다는 건, 마치 이 직선을 손으로 잡고 그대로 오른쪽, 왼쪽, 위, 아래로 옮기는 것을 의미해요. 직선의 기울기(a)는 변하지 않고, 오직 위치만 바뀌는 것이 포인트랍니다.

💡 평행이동의 기본 원리!
도형(여기서는 직선)의 모양과 크기는 그대로 유지한 채, 정해진 방향으로 정해진 거리만큼 옮기는 것을 '평행이동'이라고 해요. 일차함수 그래프는 기울기가 변하지 않는 평행한 직선이 되는 거죠!

x축 평행이동과 y축 평행이동 ↔️↕️

일차함수 'y = ax + b'를 두 가지 방법으로 평행이동해볼 수 있어요.

• y축 평행이동: 그래프를 위아래로 움직이는 거예요. 'y = ax + b'를 y축 방향으로 'k'만큼 평행이동하면, 방정식은 'y = ax + b + k'가 돼요. 이건 마치 원래 있던 'b'값에 'k'만큼 더해져서 y절편이 변하는 것과 같죠.
• x축 평행이동: 그래프를 좌우로 움직이는 거예요. 'y = ax + b'를 x축 방향으로 'h'만큼 평행이동하면, 'y = a(x - h) + b'가 돼요. 네, 바로 그 '빼는' 공식이죠!

왜 x는 빼고, y는 더할까요? (사실은 둘 다 빼는 거예요!)

여기서 많은 분들이 헷갈리는 '부호 반대'의 비밀을 풀어드릴게요. 사실 결론부터 말하면, 점의 이동이든 도형의 이동이든 좌표축 방향으로 평행이동할 때 항상 '빼기' 개념이 적용된답니다.

점의 평행이동은 (X+a, Y+b) (직관적!) 📍

점 (X, Y)를 x축 방향으로 'a'만큼, y축 방향으로 'b'만큼 평행이동하면 새로운 점의 좌표는 (X+a, Y+b)가 돼요. 이건 너무나 직관적이죠? 오른쪽으로 'a'칸 가면 x에 'a'를 더하고, 위로 'b'칸 가면 y에 'b'를 더하니까요.

도형의 평행이동은 x를 (x-a)로, y를 (y-b)로 (숨겨진 원리!) 🔵

일차함수 'y = ax + b'는 사실 'ax - y + b = 0'이라는 방정식 형태로 볼 수 있어요. 이 방정식 위에 있는 모든 점 (x, y)들이 평행이동한다고 생각해보세요. 원래 도형 위의 임의의 한 점을 (X, Y)라고 하고, 이 점이 평행이동하여 새로운 도형 위의 점 (x', y')가 되었다고 해볼게요.

• 점의 평행이동 공식에 따라 x' = X + a 이므로, X = x' - a
• 점의 평행이동 공식에 따라 y' = Y + b 이므로, Y = y' - b

여기서 X와 Y는 원래 도형 'ax - y + b = 0'을 만족하는 점이었잖아요? 이제 X와 Y 대신 x'와 y'에 대한 식으로 바꿔서 대입하는 거예요. 그러면 'a(x' - a) - (y' - b) + b = 0'이 되겠죠? 여기서 'prime' 기호(')를 떼고 일반적인 x, y로 다시 써주면, 'a(x - a) - (y - b) + b = 0', 즉 'y - b = a(x - a) + b' 또는 'y = a(x - a) + b + b'가 됩니다.

결국, '도형의 평행이동은 각 좌표를 x를 (x-a)로, y를 (y-b)로 바꾸는 것과 같다'는 규칙이 나오는 거죠! 헷갈렸던 부호의 비밀이 풀리셨나요? 😊

일차함수 평행이동 예시 📝

일차함수 'y = 3x + 2'를 x축 방향으로 1만큼, y축 방향으로 -4만큼 평행이동하면?

• y 대신 (y - (-4)) ➡️ (y + 4) 대입
• x 대신 (x - 1) 대입

(y + 4) = 3(x - 1) + 2

y + 4 = 3x - 3 + 2

y = 3x - 3 + 2 - 4

y = 3x - 5

이렇게 이동한 일차함수의 방정식을 얻을 수 있답니다!

 

일차함수 평행이동, 그래프로 한눈에 보기!

말로만 들으면 헷갈릴 수 있지만, 그래프를 직접 보면 평행이동의 원리를 더욱 명확하게 이해할 수 있어요.

일차함수 평행이동 그래프 예시 📈

아래는 y = 2x 그래프를 평행이동한 예시예요.

y = 2x 그래프와 평행이동

(파란색: y=2x, 초록색: y=2x+3 (y축으로 3만큼 평행이동), 주황색: y=2(x-1) (x축으로 1만큼 평행이동))

※ 위 이미지는 개념 이해를 돕기 위한 예시이며, 실제 그래프와는 다를 수 있습니다.

• 그래프 y = 2x (파란색)를 위로 3칸 올리면 y = 2x + 3 (초록색)이 됩니다. y절편이 0에서 3으로 이동했죠?
• 그래프 y = 2x (파란색)를 오른쪽으로 1칸 밀면 y = 2(x-1) (주황색)이 됩니다. 그래프의 모양(기울기)은 그대로 유지되면서 전체적으로 옆으로 이동한 것을 볼 수 있어요.

글의 핵심 요약

오늘 일차함수 평행이동에 대해 깊이 있게 알아보았는데, 어떠셨나요? 핵심 내용을 다시 한번 정리해드릴게요!

1. 일차함수 평행이동은 그래프의 모양(기울기)을 유지한 채 위치만 바꾸는 것을 의미해요.
2. y축 평행이동: 'y = ax + b'를 y축 방향으로 'k'만큼 ➡️ 'y = ax + b + k' (뒤에 'k'를 더해요)
3. x축 평행이동: 'y = ax + b'를 x축 방향으로 'h'만큼 ➡️ 'y = a(x - h) + b' (x 대신 '(x-h)'를 대입해요. 부호 반대!)
4. '부호 반대' 원리는 원래 도형 위의 점이 이동했을 때, 그 새로운 점의 좌표를 원래 방정식에 대입하는 과정에서 자연스럽게 나타나는 것이랍니다.

✨ 일차함수 평행이동, 핵심 요약 카드 ✨

헷갈리는 공식, 이젠 이해하고 적용하세요! 😉

• 개념: 기울기 그대로, 위치만 이동!
• Y축 이동: 'y = ax + b + k' (뒤에 +k)
• X축 이동: 'y = a(x - h) + b' (x에 (x-h) 대입!)
• 부호 반대 이유: 이동한 점의 좌표를 대입하는 원리!

수학은 이해하는 만큼 쉬워진답니다! 💖

 

자주 묻는 질문

Q: 일차함수를 평행이동하면 기울기는 변하나요?

A: 아니요, 일차함수를 평행이동하면 그래프의 기울기는 전혀 변하지 않습니다. 평행이동은 그래프를 특정 방향으로 '밀어내는' 것이기 때문에, 그래프의 모양이나 기울어진 정도는 그대로 유지됩니다. 오직 y절편이나 x절편 같은 위치만 변하게 됩니다.

Q: 왜 x축 평행이동만 (x-h)로 부호가 반대로 들어가나요? y축은 왜 그냥 (y+k)로 보이나요?

A: 사실 y축 평행이동도 엄밀히는 'y 대신 (y-k)를 대입'하는 원리가 적용됩니다. 즉, 'y = ax + b'를 y축으로 'k'만큼 이동시키면 'y - k = ax + b'가 되고, 이걸 y에 대해 정리하면 'y = ax + b + k'가 되는 거죠. 우리가 흔히 보는 공식 형태 때문에 마치 y는 더하는 것처럼 보이지만, 원리적으로는 x와 마찬가지로 빼는 것이랍니다.

Q: 평행이동한 일차함수의 식을 보고 원래 함수를 어떻게 찾나요?

A: 평행이동된 식 'y = a(x-h) + b + k'가 있다면, 원래 함수는 평행이동된 만큼을 다시 되돌려 놓으면 됩니다. 즉, x 대신 '(x+h)'를, y 대신 '(y-k)'를 대입하면 원래의 'y = ax + b' 형태를 찾을 수 있어요. 예를 들어 'y = 2x - 5'가 x축으로 1, y축으로 -4 이동한 식이라면, 다시 'y = 2(x+1) - 5 - (-4)'를 계산하여 'y = 2x + 2 - 5 + 4 = 2x + 1'이 원래 함수임을 알 수 있죠.

이제 일차함수 평행이동에 대한 궁금증이 많이 해소되셨나요? 😊 수학은 암기보다 이해가 훨씬 더 중요하답니다. 오늘 배운 내용을 바탕으로 일차함수와 더욱 친해지시길 바라며, 더 궁금한 점이 있다면 언제든지 댓글로 물어봐주세요~ 💖

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