점과 직선 사이의 거리 공식: 원리와 문제 풀이

목차

 

수학 공식, 외우기만 했나요? 점과 직선 사이의 거리 공식은 고등학교 수학에서 가장 중요하면서도 자주 잊어버리는 공식 중 하나죠. 이 글은 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어, 공식의 의미와 유도 과정을 쉽고 명확하게 설명해 드립니다. 지금 바로 점과 직선 사이의 거리 공식의 비밀을 파헤치고, 어떤 문제에도 자신감을 가지게 될 거예요! 💡

안녕하세요! 고등학교 수학을 공부하다 보면 정말 많은 공식들을 만나게 되죠. 그 중에서도 특히 도형과 관련된 공식들은 외워도 금방 헷갈리기 마련입니다. 그니까요, 점과 직선 사이의 거리 공식도 마찬가지일 거라고 생각해요. 그런데 혹시 이 공식이 왜 이렇게 생겼는지 생각해 보신 적 있으세요? 공식을 유도하는 원리를 알면 훨씬 기억하기 쉽고, 응용 문제도 잘 풀 수 있답니다. 오늘은 제가 직접 경험했던 것처럼, 복잡하게만 보였던 점과 직선 사이의 거리 공식을 쉽고 재미있게 알려드릴게요. 😊

점과 직선 사이의 거리 공식: 원리와 문제 풀이

1. 점과 직선 사이의 거리 공식: 핵심 요약

먼저, 가장 중요한 공식을 먼저 살펴볼게요. 이 공식만 정확히 알고 있어도 대부분의 문제는 풀 수 있습니다.

⭐ 점과 직선 사이의 거리 공식

직선 ax+by+c=0와
점 P(x_1,y_1) 사이의 거리 d는 다음과 같다.

d= a 2 +b 2 ​ ∣ax_1+by_1+c∣ ​

분자: 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입한 값의 절댓값
분모: x와 y 계수 제곱의 합의 제곱근

 

2. 공식이 탄생한 원리: 왜 이렇게 생겼을까?

이 공식은 사실 수학적 '벡터의 정사영' 원리에서 유도된 거예요. 어려운 말 같지만, 쉽게 말하면 점과 직선이 이루는 가장 짧은 거리(수선)를 구하기 위해 좌표를 활용한 거죠. 직선의 방정식을 통해 직선에 수직인 방향(법선 벡터)을 찾고, 그 방향으로 점까지의 거리를 측정하는 원리입니다. 이 원리를 이해하면 공식을 잊어버려도 다시 떠올리기 쉬워요!

⚠️ 주의하세요!
직선의 방정식은 반드시 ax+by+c=0 형태로 정리한 뒤 사용해야 합니다. 예를 들어, y=2x+1 같은 식은 2x−y+1=0으로 바꿔야 해요.

 

3. 실전 문제 풀이: 공식 적용 연습

백문이 불여일견! 예시 문제를 통해 공식을 직접 적용해 볼까요? 이 과정을 따라 해보면 금방 익숙해질 거예요.

예제 문제 1 📝

점 P(3,4)와 직선 2x+3y−1=0 사이의 거리를 구하시오.

1. Step 1: 공식에 대입할 값 찾기
   점 (x_1,y_1)=(3,4)
   직선 ax+by+c=0 에서 a=2,b=3,c=−1
2. Step 2: 분자 계산
   ∣ax_1+by_1+c∣=∣(2)(3)+(3)(4)+(−1)∣=∣6+12−1∣=∣17∣=17
3. Step 3: 분모 계산
   a 2 +b 2 ​ = 2 2 +3 2 ​ = 4+9 ​ = 13 ​
4. Step 4: 거리 계산
   d= a 2 +b 2 ​ ∣ax_1+by_1+c∣ ​ = 13 ​ 17 ​

정답: 13 ​ 17 ​

 

핵심 요약: 점과 직선 거리, 3가지로 정리!

이 글의 핵심 내용을 한눈에 정리해 드릴게요. 이것만 기억해도 충분합니다!

1. 공식 암기: d= a 2 +b 2 ​ ∣ax_1+by_1+c∣ ​
2. 원리 이해: 점과 직선 사이의 거리는 수선의 길이이며, 법선 벡터의 정사영 원리로 유도됩니다.
3. 활용 연습: 직선의 방정식을 ax+by+c=0 형태로 정리하고, 좌표를 대입하여 계산하는 연습을 반복합니다.

이제 점과 직선 사이의 거리 공식이 더 이상 어렵지 않게 느껴지시죠? 혹시 더 궁금한 점이 있다면 댓글로 물어봐 주세요~ 😊

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