중복순열과 중복조합, 핵심만 콕콕! 수학 경우의 수 정복

목차

 

중복순열과 중복조합, 경우의 수 끝판왕 되기! 순열과 조합도 헷갈리는데 '중복'까지 붙으니 더 어렵게 느껴지시나요? 걱정 마세요! 이 글만 읽으면 중복순열과 중복조합의 개념부터 공식, 그리고 실제 문제에 어떻게 적용하는지까지 완벽하게 이해할 수 있을 거예요. 경우의 수 정복, 이제 시작입니다!

여러분, 수학 문제 풀다가 경우의 수만 나오면 한숨부터 나왔던 경험, 저만 그런가요? 😅 특히 순열, 조합에 이어서 중복순열, 중복조합까지 등장하면 '이게 대체 무슨 말이야!' 싶었죠. 솔직히 저도 그랬어요. 하지만 막상 개념을 제대로 알고 나면 그렇게 어렵지 않답니다! 오늘은 많은 분들이 헷갈려 하는 중복순열과 중복조합을 쉽고 명확하게 설명해 드릴게요. 함께 경우의 수 마스터가 되어봐요! 💪

중복순열 (Permutation with Repetition): '뽑고 또 뽑고, 순서 중요!'

먼저 중복순열부터 시작해볼게요. 이름 그대로 '중복을 허용하는 순열'이에요. 즉, 한번 뽑은 것을 또 뽑을 수 있고, 순서까지 중요하게 생각하는 경우의 수를 말하죠.

가장 흔한 예시가 바로 '비밀번호'예요. 0부터 9까지의 숫자 중 4자리의 비밀번호를 만든다고 가정해볼까요? 여기서 숫자는 중복해서 사용할 수 있고 (예: 1111, 1212), 순서가 바뀌면 다른 비밀번호가 되죠 (예: 1234와 4321). 이럴 때 중복순열을 사용합니다.

💡 중복순열 공식:
서로 다른 n개의 원소에서 중복을 허용하여 r개를 택해 일렬로 나열하는 중복순열의 수는 다음과 같아요.

n의 r제곱 (n^r)

기호는 그리스 문자 파이(Π)를 사용하며, 읽을 때는 '파이'라고 읽거나 '중복순열'이라고 그냥 부르기도 해요. 공식은 아주 간단하죠? n을 r번 곱하는 거예요!

중복순열 예시: 투표와 비밀번호 🔑

1. 무기명 투표: 3명의 후보에게 5명의 유권자가 각각 한 표씩 무기명으로 투표하는 경우의 수 (단, 기권이나 무효표는 없음).

   각 유권자(선택의 주체)는 3명의 후보(선택 대상) 중 한 명을 선택할 수 있고, 중복해서 선택 가능하며 (여러 유권자가 한 후보에게 투표 가능), 유권자마다 선택 순서가 다르므로 순서가 중요합니다.

   n=3 (후보 수), r=5 (유권자 수) 이므로: 3의 5제곱 = 243가지

2. 4자리 비밀번호: 0부터 9까지의 숫자 중 중복을 허용하여 만들 수 있는 4자리 비밀번호의 총 개수.

   각 자리에 0~9 (10가지) 숫자가 올 수 있고, 각 자리는 서로 독립적이며 순서가 중요합니다.

   n=10 (숫자 개수), r=4 (자릿수) 이므로: 10의 4제곱 = 10,000가지

어때요? 생각보다 간단하죠?

 

중복조합 (Combination with Repetition): '뽑고 또 뽑고, 순서 무시!'

다음은 중복조합입니다. 중복조합은 '중복을 허용하는 조합'이에요. 즉, 한번 뽑은 것을 또 뽑을 수 있지만, 순서는 중요하게 생각하지 않는 경우의 수를 말해요.

이게 좀 헷갈릴 수 있는데, 대표적인 예시가 '사탕 고르기'나 '방정식의 음이 아닌 정수해 개수' 같은 문제예요. 예를 들어, 딸기맛, 초코맛, 바닐라맛 사탕이 무한히 있을 때, 이 중에서 3개의 사탕을 고르는 경우의 수는? 여기서 '딸기, 딸기, 초코'를 고르는 것과 '초코, 딸기, 딸기'를 고르는 것은 같은 경우로 보는 거죠. 순서가 의미 없어요.

💡 중복조합 공식:
서로 다른 n개의 원소에서 중복을 허용하여 r개를 택하는 중복조합의 수는 다음과 같아요.

(n + r - 1)Cr

기호는 라틴어 Homogeneous (동종의)의 H를 따서 'H'를 사용하고, '엔 에이치 알' 또는 '중복조합'이라고 읽어요. 중복조합 공식은 일반 조합 공식으로 변환해서 계산한답니다. 조금 복잡해 보이지만, 의미를 알면 쉬워져요!

중복조합 예시: 과일 바구니와 방정식 🧺

1. 과일 바구니: 사과, 배, 감 세 종류의 과일 중에서 5개의 과일을 고르는 경우의 수 (각 과일은 충분히 많음).

   종류가 'n', 고를 개수가 'r'이에요. 순서는 중요하지 않죠? (사과2, 배3) = (배3, 사과2)니까요.

   n=3 (과일 종류), r=5 (고를 과일 개수) 이므로:

   3H5 = (3 + 5 - 1)C5 = 7C5 = 7! / (5! * 2!) = (7 x 6) / (2 x 1) = 21가지

2. 방정식의 해: 방정식 x + y + z = 5를 만족하는 음이 아닌 정수해 (x, y, z)의 개수.

   '중복조합 = 칸막이 이론'으로 설명하기도 해요. 5개의 '1'을 x, y, z 세 변수에 나눠주는 문제인데, 이는 5개의 '1'과 2개의 칸막이를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같아요.

   n=3 (변수의 개수), r=5 (합의 값) 이므로:

   3H5 = (3 + 5 - 1)C5 = 7C5 = 21가지

중복조합은 언뜻 보면 어려워 보이지만, '서로 다른 n개 중에서 중복을 허용하여 r개를 뽑는 경우의 수'라는 본질을 이해하면 훨씬 쉽게 다가올 거예요!

중복순열 vs 중복조합, 한눈에 비교하기!

이쯤 되면 이제 헷갈리는 머릿속이 좀 정리되셨죠? 그래도 마지막으로 깔끔하게 표로 정리해서 비교해볼게요!

구분	중복순열 (Permutation with Repetition)	중복조합 (Combination with Repetition)
핵심	중복 허용, 순서 중요	중복 허용, 순서 무시
기호	nΠr	nHr
공식	n의 r제곱 (n^r)	(n + r - 1)Cr
예시	비밀번호, 기명/무기명 투표 (누가 누구에게), 신호 만들기	같은 종류의 상품 고르기, 방정식의 음이 아닌 정수해

 

⚠️ 문제 해결의 핵심!
가장 중요한 건 문제를 읽고 '중복을 허용하는가?'와 '순서가 중요한가?' 이 두 가지를 판단하는 거예요. 이 두 질문에 대한 답만 명확히 하면 어떤 공식을 써야 할지 바로 알 수 있습니다!

 

 

글의 핵심 요약

오늘 중복순열과 중복조합에 대해 자세히 알아봤어요! 복잡하게 느껴졌던 개념들이 이제 좀 쉽게 다가오시나요? 마지막으로 핵심만 쏙쏙 뽑아 다시 한번 정리해드릴게요!

1. 중복순열: 중복 허용, 순서 중요. 공식은 'n의 r제곱'. (예: 비밀번호, 기명 투표)
2. 중복조합: 중복 허용, 순서 무시. 공식은 '(n + r - 1)Cr'. (예: 같은 종류 물건 선택, 방정식의 음이 아닌 정수해)
3. 구분 기준: 문제에서 '중복 허용 여부'와 '순서 중요 여부'를 파악하는 것이 가장 중요해요!

 

중복순열 & 중복조합 핵심 요약! 📊

• 중복순열(n의 r제곱): 중복 가능, 순서 중요! (예: 0~9로 4자리 비밀번호)
• 중복조합((n + r - 1)Cr): 중복 가능, 순서 무시! (예: 사과, 배, 감 중 5개 고르기)
• 구분 팁: '순서'가 핵심 키워드! 순서가 중요하면 중복순열, 아니면 중복조합!

이제 경우의 수 문제, 두렵지 않겠죠? 💪

자주 묻는 질문

Q: 중복순열에서 n의 r제곱이 되는 이유가 뭔가요?

A: 각 자리(또는 선택할 때마다)에 n가지의 선택지가 있고, 이 선택이 r번 반복되기 때문이에요. 예를 들어, 3개의 숫자 (1,2,3)로 2자릿수 중복순열을 만들면 첫 번째 자리에 3가지, 두 번째 자리에 또 3가지가 올 수 있어 3 x 3 = 3의 2제곱 = 9가지가 됩니다.

Q: 중복조합 공식이 왜 조합 공식으로 변환되는 건가요?

A: 중복조합은 '칸막이 이론'으로 설명할 수 있어요. 예를 들어, 서로 다른 3종류의 과일에서 5개를 고르는 문제는 5개의 과일(O)과 2개의 칸막이(|)를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같아요. 총 5 + 2 = 7개의 자리 중 과일 5개 또는 칸막이 2개를 놓을 자리를 선택하는 조합 문제(7C5 또는 7C2)로 바뀌는 거죠. 여기서 2는 n-1입니다 (칸막이 개수). 그래서 (n + r - 1)Cr 공식이 나오는 거예요.

Q: 실생활에서 중복순열과 중복조합의 다른 예시가 있나요?

A: 물론이죠! 중복순열은 모스 부호(점과 선을 중복해서 사용, 순서 중요), IP 주소(숫자가 중복되고 순서 중요) 등이 있고요. 중복조합은 아이스크림 가게에서 여러 맛을 중복해서 고르는 경우(맛은 중요하지만 순서는 상관없음), 서로 다른 n개 우체통에 r개의 편지를 넣는 경우(편지는 구분되지 않음) 등이 있답니다.

이제 중복순열과 중복조합, 더 이상 어렵게 느껴지지 않으시죠? 이 글이 여러분의 경우의 수 개념 정리에 큰 도움이 되었기를 바랍니다! 혹시 또 궁금한 점이나 어렵게 느껴지는 부분이 있다면 언제든지 댓글로 물어봐주세요~ 😊

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