초등학생도 쉽게 따라 하는 '순환소수 분수로 고치는 방법'

목차

 

0.333... 같은 순환소수, 이제 당황하지 마세요! 소수점 아래 숫자가 끝없이 반복되는 순환소수를 보면 복잡하게 느껴지시나요? 이 글만 읽으면 순환소수를 분수로 고치는 방법이 너무나도 쉬워질 거예요! 숨겨진 마법 같은 규칙을 함께 찾아볼까요? ✨

학창 시절 수학 시간에 0.121212... 같은 숫자를 보면 '이걸 어떻게 분수로 바꿔?' 하고 막막했던 기억, 저만 있는 건 아니죠? 😅 보기에는 끝없이 이어져서 무리수 같기도 한데, 사실 순환소수는 유리수에 속한답니다! 왜냐하면 순환소수를 분수로 고치는 방법이 분명히 존재하기 때문이죠. 오늘은 그 마법 같은 방법을 아주 쉽고 친절하게 알려드릴게요. 이 글을 다 읽고 나면 여러분도 순환소수 전문가가 되어 있을 거예요! 🚀

초등학생도 쉽게 따라 하는 '순환소수 분수로 고치는 방법'

순환소수, 넌 어떤 친구니?

본격적으로 순환소수를 분수로 고치는 방법을 알아보기 전에, 순환소수가 정확히 무엇인지 짚고 넘어갈게요. 순환소수는 소수점 아래의 어떤 자리부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 반복되는 소수를 말해요. 예를 들어:

• 0.333... (3이 계속 반복)
• 0.121212... (12가 계속 반복)
• 2.545454... (54가 계속 반복)
• 0.123444... (3 다음부터 4가 계속 반복)

이런 숫자들을 바로 순환소수라고 부른답니다. 반복되는 부분을 순환마디라고 하고, 보통 순환마디 위에 점을 찍어서 표현하기도 해요. (예: 0.3점, 0.12점, 2.54점. ) 이렇게 규칙이 있으니 분수로 바꿀 수 있다는 사실, 이제 좀 더 이해가 가시죠? 😊

💡 알아두세요!
모든 순환소수는 유리수입니다. 즉, 분수로 고치는 방법이 존재한다는 뜻이죠! 반대로 비순환 무한소수(예: 원주율 파이)는 무리수라 분수로 나타낼 수 없어요.

순환소수를 분수로 고치는 두 가지 방법

순환소수를 분수로 고치는 방법은 크게 두 가지가 있어요. 첫 번째는 '방정식을 이용하는 방법'이고, 두 번째는 '공식을 이용하는 방법'이에요. 둘 다 중요하니 차근차근 살펴볼게요!

 

1. 방정식을 이용하는 방법 (원리 이해에 최고!) 🧠

이 방법은 조금 귀찮아 보일 수 있지만, 순환소수를 분수로 고치는 원리를 이해하는 데 아주 중요해요. 함께 예를 들어볼게요!

예시 1: 0.333...을 분수로 고치기

1. 주어진 순환소수를 $x$라고 놓습니다.
   x = 0.333... --- (ㄱ)
2. 순환마디의 개수만큼 10의 거듭제곱(10, 100, 1000...)을 $x$에 곱해 소수점을 순환마디 끝으로 이동시킵니다. (여기서는 순환마디가 '3' 하나이므로 10을 곱해요)
   10x = 3.333... --- (ㄴ)
3. (ㄴ)에서 (ㄱ)을 뺍니다. 이렇게 하면 순환하는 부분이 사라져서 정수만 남아요!
   10x - x = 3.333... - 0.333...
9x = 3
4. $x$에 대해 정리하면 분수가 됩니다.
   x = 3/9 = 1/3

예시 2: 0.121212...을 분수로 고치기

1. x = 0.121212... --- (ㄱ)
2. 순환마디가 '12'로 2개이므로 100을 곱합니다.
   100x = 12.121212... --- (ㄴ)
3. (ㄴ)에서 (ㄱ)을 뺍니다.
   100x - x = 12.121212... - 0.121212...
99x = 12
4. x = 12/99 = 4/33

만약 순환마디가 소수점 바로 아래부터 시작하지 않는다면 어떻게 할까요? 예를 들어 0.12333... 같은 경우요. 이럴 때는 소수점을 한 번 더 움직여서 순환마디가 시작하는 곳에 맞춰 준 후 방정식을 풀면 된답니다.

예시 3: 0.12333...을 분수로 고치기

1. x = 0.12333... --- (ㄱ)
2. 소수점을 순환마디 바로 앞으로 이동 (순환하지 않는 부분이 2개이므로 100을 곱함)
   100x = 12.333... --- (ㄴ)
3. 소수점을 순환마디 뒤로 이동 (전체 소수점 아래 자릿수가 3개이므로 1000을 곱함)
   1000x = 123.333... --- (ㄷ)
4. (ㄷ)에서 (ㄴ)을 뺍니다.
   1000x - 100x = 123.333... - 12.333...
900x = 111
5. x = 111/900 = 37/300

 

2. 공식을 이용하는 방법 (더 빠르고 간편하게!) ⚡

방정식으로 원리를 이해했다면, 이제 더 쉽고 빠르게 순환소수를 분수로 고치는 방법인 공식을 알아볼까요? 꼼꼼히 따라오세요!

구분	방법	예시
순환마디가 소수점 바로 아래부터 시작할 때 (0.xyz...)	분모: 순환마디의 숫자 개수만큼 9를 씁니다. 분자: 순환마디의 숫자를 그대로 씁니다.	0.777... = 7/9 0.454545... = 45/99 = 5/11 0.123123... = 123/999
순환마디가 소수점 아래부터 시작하지 않을 때 (0.abxyz...)	분모: 순환마디의 숫자 개수만큼 9를 쓰고, 순환하지 않는 소수점 아래 숫자의 개수만큼 0을 씁니다. 분자: (전체 숫자 - 순환하지 않는 부분의 숫자)를 계산합니다.	0.1333... = (13-1)/90 = 12/90 = 2/15 0.12333... = (123-12)/900 = 111/900 = 37/300 0.0555... = (5-0)/90 = 5/90 = 1/18

⚠️ 주의하세요!
공식을 사용할 때는 순환소수 앞의 정수 부분은 일단 무시하고, 소수 부분만 계산한 다음 나중에 더해주는 것이 편리해요. 예를 들어 2.545454...는 2 + 0.545454...로 분리해서 계산하면 됩니다. (0.545454... = (54-5)/90 = 49/90 이므로, 2 + 49/90 = 180/90 + 49/90 = 229/90 )

숫자 구분 퀴즈

지금까지 배운 유리수와 무리수, 그리고 순환소수를 분수로 고치는 방법을 활용해서 제가 몇 가지 숫자를 내볼게요. 이게 유리수일까요, 무리수일까요? 🤔

퀴즈! 💡

• 1. 0.121212...
• 2. 루트 4
• 3. 루트 5
• 4. 7

정답:
1. 0.121212... : 유리수 (순환소수이므로 분수로 표현 가능, 12/99) 2. 루트 4 : 유리수 (루트 4는 2와 같으므로 정수, 즉 분수로 표현 가능) 3. 루트 5 : 무리수 (루트 5는 비순환 무한소수이므로 분수로 표현 불가능) 4. 7 : 유리수 (7은 정수이므로 7/1과 같이 분수로 표현 가능)

글의 핵심 요약

지금까지 순환소수를 분수로 고치는 방법에 대해 알아보았습니다. 핵심 내용을 다시 한번 정리해 볼까요?

1. 순환소수란: 소수점 아래 특정 배열이 반복되는 무한소수입니다. 모든 순환소수는 유리수에 속합니다.
2. 방정식 이용 방법: $x$로 놓고 10의 거듭제곱을 곱해 순환하는 부분을 없애는 원리를 이용합니다. 원리 이해에 좋습니다.
3. 공식 이용 방법: 분모에 9와 0을, 분자에 (전체 숫자 - 순환하지 않는 부분)을 활용하여 빠르고 간편하게 계산합니다.

 

💯순환소수 분수 변환 핵심!

• 순환소수는 유리수다 (분수 변환 가능)
• 방정식 이용: 순환부 제거 원리 이해
• 공식 이용: 9와 0, 전체수 - 비순환수
• 연습만이 완벽을 만든다!

자주 묻는 질문

Q: 왜 순환소수는 유리수이고, 무리수는 아닌가요?

A: 순환소수는 소수점 아래 숫자들이 반복되는 규칙이 있어서 결국 분수 형태로 나타낼 수 있기 때문에 유리수입니다. 반면 무리수는 소수점 아래 숫자가 끝없이 이어지면서도 아무런 규칙 없이 불규칙하게 배열되므로 분수로 나타낼 수 없어요.

Q: 0.999...는 왜 1과 같다고 하나요?

A: 이 질문은 많은 사람들을 헷갈리게 하죠! 😮 방정식으로 풀어보면 이해할 수 있어요. $x = 0.999...$ 라 하면, $10x = 9.999...$ 이 됩니다. 두 식을 빼면 $9x = 9$, 따라서 $x=1$이 됩니다. 즉, 0.999...와 1은 수학적으로 같은 값이에요.

Q: 순환소수를 분수로 고치는 게 실생활에 유용할까요?

A: 직접적으로 일상생활에서 매일 사용하지는 않겠지만, 순환소수를 분수로 고치는 방법을 이해하는 것은 수의 개념을 더 깊이 이해하고, 나아가 수학적 사고력을 키우는 데 매우 중요합니다. 🤓 특히 공학, 컴퓨터 과학 등 정밀한 계산이 필요한 분야에서는 이러한 숫자 개념의 이해가 필수적이에요.

자, 이제 순환소수를 분수로 고치는 방법이 훨씬 쉽게 느껴지시나요? 😊 처음에는 어렵게만 느껴질 수 있지만, 몇 번 연습하다 보면 정말 간단한 계산이라는 걸 알게 될 거예요! 이 글이 여러분의 수학 실력 향상에 작은 디딤돌이 되기를 바라며, 더 궁금한 점이 있다면 언제든지 댓글로 남겨주세요~!

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