평행한 두 직선 사이의 거리, 완벽 공식 해설 및 실전 문제 풀이

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평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 공식, 너무 복잡하게 느껴지시나요? 수학의 기본 개념이지만, 막상 공식만 외워서는 응용하기 어렵죠. 이 포스팅에서는 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 원리를 쉽고 명확하게 설명하고, 누구나 쉽게 공식을 적용할 수 있도록 자세한 예시와 팁을 알려드릴게요!

안녕하세요! 수학 때문에 머리 아픈 분들을 위한 친절한 수학 가이드, 블로그 글 생성입니다 😊 고등학교 기하학을 배우다 보면 평면 좌표 위에서 직선의 방정식을 다룰 일이 정말 많은데요. 그중에서도 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 문제는 수능이나 내신 시험에 늘 빠지지 않고 등장하는 단골 주제랍니다. 솔직히 저도 처음 공식을 봤을 때는 "이걸 언제 다 외우나..." 싶었어요. 그니까요! 하지만 이 공식에는 아주 간단하고 명확한 원리가 숨어 있어요. 오늘은 그 원리를 파헤쳐서 여러분의 머릿속에 이 개념을 확실하게 심어 드릴게요!

평행한 두 직선 사이의 거리, 완벽 공식 해설 및 실전 문제 풀이

평행선 거리 계산의 핵심 원리 이해하기

평행한 두 직선 사이의 거리를 정의할 때 가장 중요한 개념은 바로 '수직 거리'라는 거예요. 두 직선이 아무리 멀리 뻗어나가도, 그 사이의 거리는 두 직선에 수직인 선분의 길이를 측정해야 한답니다. 이 거리는 어느 지점에서 재든 항상 일정하다는 것이 핵심이죠. 즉, 두 직선 L1과 L2가 평행하다고 할 때, L1 위의 임의의 한 점을 잡고, 그 점에서 직선 L2까지의 점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하면 끝나는 문제예요!

거리 공식이 왜 필요한가 하면, 이 문제를 풀기 위해서는 결국 점과 직선 사이의 거리 공식을 응용하기 때문입니다. 그러니까 두 직선이 주어졌을 때, 우리가 해야 할 일은 단 두 가지예요.

• 1단계: 한 직선 위에 있는 아무 점(임의의 점) 하나를 찾는다.
• 2단계: 찾은 점에서 나머지 직선까지의 거리를 구한다.

 

평행한 두 직선 사이의 거리 공식 유도 과정 및 정의

두 직선의 방정식을 일반형으로 나타내면 다음과 같습니다. (여기서 A,B는 계수이고, C 1 ​ 과 C 2 ​ 는 같지 않아야 합니다. 같으면 거리가 0이 되기 때문이죠.)

• 직선 L1: Ax+By+C 1 ​ =0
• 직선 L2: Ax+By+C 2 ​ =0

두 직선이 평행하기 때문에 x의 계수 A와 y의 계수 B는 서로 같습니다. 이 원리와 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 유도하면, 두 평행한 두 직선 사이의 거리 d는 이렇게 간결하게 정의됩니다.

거리 공식 📏

거리 d = A 2 +B 2 ​ ∣C1−C2∣ ​

(분자: 두 직선 상수항의 차이의 절댓값) / (분모: 루트(x 계수 2 +y 계수 2 ))

이 공식의 핵심은 A와 B 계수가 동일해야 한다는 점입니다! 만약 주어지는 직선의 방정식이 x+2y+1=0과 2x+4y+6=0처럼 계수가 다르다면, 먼저 계수를 일치시켜야 올바른 평행한 두 직선 사이의 거리를 구할 수 있어요.

💡 알아두세요! 평행 조건 확인 두 직선이 평행하려면 x 계수의 비율과 y 계수의 비율이 같고, 상수항의 비율은 달라야 합니다. 거리를 계산하기 전에는 반드시 A와 B의 계수를 통일해야 함을 잊지 마세요!

 

실전 문제: 평행한 두 직선 사이의 거리 계산 예제

이제 실제 예시를 통해 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 방법을 연습해 봅시다. 이 과정을 통해 공식이 머릿속에 확실히 자리 잡을 거예요. 제가 직접 문제를 풀어드릴게요!

예시 문제 📝

직선 L1: 3x−4y+5=0

직선 L2: 3x−4y−15=0

두 평행한 직선 사이의 거리 d를 구하시오.

1. 계수 확인 및 통일: 두 직선 모두 A=3, B=−4로 계수가 이미 통일되어 있습니다.
2. 상수항 확인: C 1 ​ =5, C 2 ​ =−15입니다.
3. 공식 적용: 거리 d = A 2 +B 2 ​ ∣C1−C2∣ ​
4. 계산: d = 3 2 +(−4) 2 ​ ∣5−(−15)∣ ​ = 9+16 ​ ∣5+15∣ ​ = 25 ​ 20 ​ = 5 20 ​ =4

따라서 두 평행한 두 직선 사이의 거리 d는 4입니다. 정말 간단하죠? 계수만 맞추면 사실상 상수항의 차이와 피타고라스 정리만 이용하는 것과 같아요. 이게 바로 거리 공식의 매력이에요.

 

만약 계수가 다르다면? 🙅‍♀️

직선 L3: x+2y+1=0과 L4: 2x+4y−10=0의 거리를 구하는 경우를 생각해 봅시다. 계수가 다르므로 먼저 L4를 1/2로 나누거나 L3를 2배하여 A,B를 통일해야 합니다. 저는 L4를 1/2로 나눌게요.

L4 →x+2y−5=0.

이제 L3 (x+2y+1=0)과 L4 (x+2y−5=0)를 비교하면, A=1, B=2, C 1 ​ =1, C 2 ​ =−5입니다.

1. 거리 계산: d = 1 2 +2 2 ​ ∣1−(−5)∣ ​ = 1+4 ​ ∣6∣ ​ = 5 ​ 6 ​ 입니다. (유리화하면 5 6× 5 ​ ​ )

⚠️ 주의하세요! 계수 통일의 중요성 평행한 두 직선 사이의 거리를 구할 때, Ax와 By의 계수(A,B)를 반드시 일치시켜야 합니다. 통일하지 않은 상태로 C 1 ​ 과 C 2 ​ 만 비교하면 잘못된 결과를 얻게 됩니다. x+2y+1=0과 2x+4y−10=0에서 C를 그대로 사용하면 ∣1−(−10)∣=11로 잘못 계산하게 돼요. 항상 일반형에서 A,B를 통일하는 것이 필수입니다.

 

글의 핵심 요약

지금까지 살펴본 평행한 두 직선 사이의 거리 구하는 방법을 다시 한번 정리해 볼게요. 이 세 가지 핵심만 기억하시면 어떤 문제가 나와도 자신감을 가질 수 있을 거예요!

1. 평행 조건 확인: 두 직선의 x,y 계수의 비율이 같은지 먼저 확인해야 합니다.
2. 계수 통일: A와 B의 계수를 반드시 일치시킨 후(Ax+By+C 1 ​ =0과 Ax+By+C'_2=0 형태), 공식을 적용합니다.
3. 최종 공식: 평행한 두 직선 사이의 거리 d = (상수항의 차이 |C_1 - C'_2|) / (루트(A 2 +B 2 ))

이 공식은 단순 암기보다는, 임의의 점을 잡아 점과 직선 사이의 거리를 구하는 과정에서 유도되었다는 사실을 이해하는 것이 중요합니다. 그래야 문제의 유형이 바뀌어도 당황하지 않고 해결할 수 있답니다.

 

자주 묻는 질문

Q: 평행한 두 직선 사이의 거리가 0인 경우는 언제인가요?

A: 두 직선이 일치할 때입니다. 즉, Ax+By+C 1 ​ =0과 Ax+By+C 2 ​ =0에서 C 1 ​ 과 C 2 ​ 가 같을 때 거리는 0이 됩니다.

Q: 두 직선이 평행하지 않으면 거리를 구할 수 없나요?

A: 네, 두 직선이 평행하지 않으면 언젠가 한 점에서 교차하기 때문에 두 직선 사이의 거리는 정의할 수 없거나, 최단 거리는 교차하는 교점에서 0이 됩니다. 이 공식은 평행선에만 적용 가능합니다.

Q: 왜 분모에 '루트(A제곱 + B제곱)'이 들어가나요?

A: 이 부분은 점과 직선 사이의 거리 공식에서 유래된 것입니다. 이 값은 거리를 구하기 위해 계수 A와 B를 사용하는 필수적인 요소랍니다.

자, 이제 평행한 두 직선 사이의 거리 공식에 대한 궁금증이 모두 해결되셨기를 바라요! 이 공식만 제대로 이해하고 있으면, 다양한 응용 문제도 거뜬히 풀 수 있답니다. 수학은 이해가 바탕이 되어야 응용력이 생기는 법이니까요! 혹시라도 더 궁금한 점이 있다면 댓글로 물어봐주세요~ 😊 다음에도 유익한 수학 정보로 찾아뵙겠습니다!

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